Statements (Theorems, Proofs, Remarks)

Capture formal statements such as theorems, proofs and remarks in a <statement> element.
The statement element must contain a @content-type attribute describing the content of the statement. The suggested values for @content-type are:
exercise
theorem
lemma
proof
remark
axiom
proposition
The statement element must contain a child <label> element and may optionally contain a <title> element.
Note: Some types of statement use italic text in the output. Do not use italic tags in the XML to indicate this, the formatting must be applied for relevant statement types through the stylesheet.
If the <statement> element is crossreferenced elsewhere it must contain an @id attrtibute.
Example

<statement content-type="theorem" id="cqgac8863proc1">
  <label>Theorem 5.1.</label>
  <p>Consider data on <inline-formula>
    <tex-math><?CDATA $\mathcal{C}$?></tex-math>
    <mml:math display="inline">
      <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
    </mml:math>
    <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn214.gif"/>
  </inline-formula> and <inline-formula>
    <tex-math><?CDATA ${\mathcal{I}}^{-}$?></tex-math>
    <mml:math display="inline">
      <mml:msup>
        <mml:mrow>
          <mml:mi mathvariant="script">I</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mo>−</mml:mo>
        </mml:mrow>
      </mml:msup>
    </mml:math>
    <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn215.gif"/>
  </inline-formula> that satisfy <inline-formula>
    <tex-math><?CDATA ${\phi }_{0}{\vert }_{\mathcal{C}}={Q}_{0}\vert u{\vert }^{-1}+\mathcal{O}(\vert u{\vert }^{-1-{\epsilon}})$?></tex-math>
    <mml:math display="inline">
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>ϕ</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mn>0</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:mo>=</mml:mo>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>Q</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mn>0</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
      <mml:mi>u</mml:mi>
      <mml:msup>
        <mml:mrow>
          <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mo>−</mml:mo>
          <mml:mn>1</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msup>
      <mml:mo>+</mml:mo>
      <mml:mi mathvariant="script">O</mml:mi>
      <mml:mrow>
        <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
        <mml:mrow>
          <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
          <mml:mi>u</mml:mi>
          <mml:msup>
            <mml:mrow>
              <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
            </mml:mrow>
            <mml:mrow>
              <mml:mo>−</mml:mo>
              <mml:mn>1</mml:mn>
              <mml:mo>−</mml:mo>
              <mml:mi>ϵ</mml:mi>
            </mml:mrow>
          </mml:msup>
        </mml:mrow>
        <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
      </mml:mrow>
    </mml:math>
    <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn216.gif"/>
  </inline-formula> as <italic>u</italic> → −∞ and <inline-formula>
    <tex-math><?CDATA ${\partial }_{v}{\phi }_{0}{\vert }_{{\mathcal{I}}^{-}}\equiv 0$?></tex-math>
    <mml:math display="inline">
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>∂</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>v</mml:mi>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>ϕ</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mn>0</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:msup>
            <mml:mrow>
              <mml:mi mathvariant="script">I</mml:mi>
            </mml:mrow>
            <mml:mrow>
              <mml:mo>−</mml:mo>
            </mml:mrow>
          </mml:msup>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:mo>≡</mml:mo>
      <mml:mn>0</mml:mn>
    </mml:math>
    <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn217.gif"/>
  </inline-formula>. Then, along any outgoing null hypersurface of constant
  <italic>u</italic>, 2∂<sub>
    <italic>v</italic>
  </sub>
  <italic>ϕ</italic>
  <sub>0</sub> = −<italic>MQ</italic>
  <sub>0</sub>
  <italic>r</italic>
  <sup>−3</sup> log <italic>r</italic> + … as <italic>v</italic> → ∞, so <inline-formula>
    <tex-math><?CDATA ${I}_{0}^{{r}^{-3}\mathrm{log}r}[\psi ]\equiv -M{Q}_{0}/2$?></tex-math>
    <mml:math display="inline">
      <mml:msubsup>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>I</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mn>0</mml:mn>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:msup>
            <mml:mrow>
              <mml:mi>r</mml:mi>
            </mml:mrow>
            <mml:mrow>
              <mml:mo>−</mml:mo>
              <mml:mn>3</mml:mn>
            </mml:mrow>
          </mml:msup>
          <mml:mo>⁡</mml:mo>
          <mml:mi>log</mml:mi>
          <mml:mo>⁡</mml:mo>
          <mml:mi>r</mml:mi>
        </mml:mrow>
      </mml:msubsup>
      <mml:mrow>
        <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>ψ</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
      </mml:mrow>
      <mml:mo>≡</mml:mo>
      <mml:mo>−</mml:mo>
      <mml:mi>M</mml:mi>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>Q</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mn>0</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:mo>/</mml:mo>
      <mml:mn>2</mml:mn>
    </mml:math>
    <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn218.gif"/>
  </inline-formula>.</p>
  <p>Moreover, if one smoothly extends the data along <inline-formula>
    <tex-math><?CDATA $\mathcal{C}$?></tex-math>
    <mml:math display="inline">
      <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
    </mml:math>
    <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn219.gif"/>
  </inline-formula> to <inline-formula>
    <tex-math><?CDATA ${\mathcal{H}}^{+}$?></tex-math>
    <mml:math display="inline">
      <mml:msup>
        <mml:mrow>
          <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mo>+</mml:mo>
        </mml:mrow>
      </mml:msup>
    </mml:math>
    <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn220.gif"/>
  </inline-formula> as in figure <xref ref-type="fig" rid="cqgac8863f8">8</xref>, one obtains the following late-time asymptotics near <italic>i</italic>
  <sup>+</sup>:<xref ref-type="fn" rid="cqgac8863fn12">
    <sup>12</sup>
  </xref>
  <fn id="cqgac8863fn12">
    <label>12</label>
    <p>Note that, owing to the conservation of <inline-formula>
      <tex-math><?CDATA ${I}_{0}^{{r}^{-3}\mathrm{log}r}[\phi ]$?></tex-math>
      <mml:math display="inline">
        <mml:msubsup>
          <mml:mrow>
            <mml:mi>I</mml:mi>
          </mml:mrow>
          <mml:mrow>
            <mml:mn>0</mml:mn>
          </mml:mrow>
          <mml:mrow>
            <mml:msup>
              <mml:mrow>
                <mml:mi>r</mml:mi>
              </mml:mrow>
              <mml:mrow>
                <mml:mo>−</mml:mo>
                <mml:mn>3</mml:mn>
              </mml:mrow>
            </mml:msup>
            <mml:mo>⁡</mml:mo>
            <mml:mi>log</mml:mi>
            <mml:mo>⁡</mml:mo>
            <mml:mi>r</mml:mi>
          </mml:mrow>
        </mml:msubsup>
        <mml:mrow>
          <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
          <mml:mrow>
            <mml:mi>ϕ</mml:mi>
          </mml:mrow>
          <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
        </mml:mrow>
      </mml:math>
      <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn221.gif"/>
    </inline-formula> along <inline-formula>
      <tex-math><?CDATA ${\mathcal{I}}^{+}$?></tex-math>
      <mml:math display="inline">
        <mml:msup>
          <mml:mrow>
            <mml:mi mathvariant="script">I</mml:mi>
          </mml:mrow>
          <mml:mrow>
            <mml:mo>+</mml:mo>
          </mml:mrow>
        </mml:msup>
      </mml:math>
      <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn222.gif"/>
    </inline-formula>, the leading-order asymptotics (<xref ref-type="disp-formula" rid="cqgac8863eqn5_11">5.11</xref>) are
    independent of the extension of the data towards <inline-formula>
      <tex-math><?CDATA ${\mathcal{H}}^{+}$?></tex-math>
      <mml:math display="inline">
        <mml:msup>
          <mml:mrow>
            <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi>
          </mml:mrow>
          <mml:mrow>
            <mml:mo>+</mml:mo>
          </mml:mrow>
        </mml:msup>
      </mml:math>
      <inline-graphic xlink:href="cqgac8863ieqn223.gif"/>
    </inline-formula>.</p>
  </fn>
  <disp-formula id="cqgac8863eqn5_11">
    <label>5.11</label>
    <tex-math><?CDATA \begin{equation}{\psi }_{0}{\vert }_{{\mathcal{H}}^{+}}=-4M{Q}_{0}{v}^{-3}\,\mathrm{log}\,v+\dots \qquad {\phi }_{0}{\vert }_{{\mathcal{I}}^{+}}=-2M{Q}_{0}{u}^{-2}\,\mathrm{log}\,u+\dots .\end{equation}?></tex-math>
    <mml:math display="block">
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>ψ</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mn>0</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:msup>
            <mml:mrow>
              <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi>
            </mml:mrow>
            <mml:mrow>
              <mml:mo>+</mml:mo>
            </mml:mrow>
          </mml:msup>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:mo>=</mml:mo>
      <mml:mo>−</mml:mo>
      <mml:mn>4</mml:mn>
      <mml:mi>M</mml:mi>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>Q</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mn>0</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:msup>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>v</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mo>−</mml:mo>
          <mml:mn>3</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msup>
      <mml:mspace width="0.17em"/>
      <mml:mi>log</mml:mi>
      <mml:mspace width="0.17em"/>
      <mml:mi>v</mml:mi>
      <mml:mo>+</mml:mo>
      <mml:mo>…</mml:mo>
      <mml:mspace width="2em"/>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>ϕ</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mn>0</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:msup>
            <mml:mrow>
              <mml:mi mathvariant="script">I</mml:mi>
            </mml:mrow>
            <mml:mrow>
              <mml:mo>+</mml:mo>
            </mml:mrow>
          </mml:msup>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:mo>=</mml:mo>
      <mml:mo>−</mml:mo>
      <mml:mn>2</mml:mn>
      <mml:mi>M</mml:mi>
      <mml:msub>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>Q</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mn>0</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msub>
      <mml:msup>
        <mml:mrow>
          <mml:mi>u</mml:mi>
        </mml:mrow>
        <mml:mrow>
          <mml:mo>−</mml:mo>
          <mml:mn>2</mml:mn>
        </mml:mrow>
      </mml:msup>
      <mml:mspace width="0.17em"/>
      <mml:mi>log</mml:mi>
      <mml:mspace width="0.17em"/>
      <mml:mi>u</mml:mi>
      <mml:mo>+</mml:mo>
      <mml:mo>…</mml:mo>
      <mml:mo>.</mml:mo>
    </mml:math>
    <graphic xlink:href="cqgac8863eqn43.gif"/>
  </disp-formula>
</p>
</statement>