Appendix
Capture appendices for an article in a <app-group> element
child of <back>.
Capture each individual appendix in an <app> element. Each app
element must have a unique identifier in an @id attribute a
<label> child element and optionally a
<title> child element.
If present capture sub-sections of the appendix using <sec>
element.
Example
<app id="njpacd8e4app4"> <label>Appendix D</label> <title>Minimization using Kanno’s formula</title> <p>The free energy up to second order in the gas parameter can be written as, <disp-formula id="njpacd8e4eqnD1"> <label>D1</label> <tex-math><?CDATA \begin{align} F=\sum_{\sigma} f_{0;\sigma}+ \sum_{\alpha\beta;\alpha\neq\beta} f_{1;\alpha\beta}+\sum_{\alpha\beta;\alpha\neq\beta}f_{2;\alpha\beta}, \end{align}?></tex-math> <mml:math display="block"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> <graphic xlink:href="njpacd8e4eqnD1.gif"/> </disp-formula> where <italic>f</italic> <sub>0</sub> and <italic>f</italic> <sub>1</sub> can be easily parameterized by the density of each component allowing to obtain an analytical expression of the free energy at mean-field level: <disp-formula id="njpacd8e4eqnD2"> <label>D2</label> <tex-math><?CDATA \begin{align} f_{0;\sigma}=\frac{3n_{\text{tot}}k_F^2}{10 m}\frac{p_\sigma^5}{2} \end{align}?></tex-math> <mml:math display="block"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mtext>tot</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> <graphic xlink:href="njpacd8e4eqnD2.gif"/> </disp-formula> <disp-formula id="njpacd8e4eqnD3"> <label>D3</label> <tex-math><?CDATA \begin{align} f_{1}(p_\alpha,p_\beta)=\frac{(k_Fa_s)n_{\text{tot}}k_F^2}{3\pi m}p_\alpha p_\beta \end{align}?></tex-math> <mml:math display="block"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mtext>tot</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> <graphic xlink:href="njpacd8e4eqnD3.gif"/> </disp-formula> where <inline-formula> <tex-math><?CDATA $p_{\sigma} = (N n_{\sigma})^{1/3}$?></tex-math> <mml:math> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> <inline-graphic xlink:href="njpacd8e4ieqn169.gif"/> </inline-formula>. For the second order correction, at zero temperature, we can use the result obtained by Kanno [<xref ref-type="bibr" rid="njpacd8e4bib20">20</xref>], which yields the following expression: <disp-formula id="njpacd8e4eqnD4"> <label>D4</label> <tex-math><?CDATA \begin{align} f_2(p_\alpha,p_\beta)=\frac{3 n_{\text{tot}}k_F^2}{10 m}\left[ \left(\frac{k_Fa_s}{\pi}\right)^2 I(p_\alpha,p_\beta)\right], \end{align}?></tex-math> <mml:math display="block"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mtext>tot</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced close="]" open="["> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> <graphic xlink:href="njpacd8e4eqnD4.gif"/> </disp-formula> where <disp-formula id="njpacd8e4eqnD5"> <label>D5</label> <tex-math><?CDATA \begin{align} I(p_{\alpha},p_{\beta})&=\frac{1}{21}\biggl[ 22p{_\alpha}^3 p_{\beta}^3 (p_{\alpha}+p_{\beta})\nonumber\\ & \quad -4p_{\alpha}^7\log\left(\frac{p_{\alpha}+p_{\beta}}{p_{\alpha}}\right)-4p_{\beta}^7\log\left(\frac{p_{\alpha}+p_{\beta}}{p_{\beta}}\right)\nonumber\\ & \quad +\frac{1}{2}(p_{\alpha}-p_{\beta})^2 p_{\alpha}p_{\beta}(p_{\alpha}+p_{\beta})\nonumber\\ & \quad \times\left[15(p_\alpha^2+p_{\beta}^2)+11p_{\alpha}p_{\beta}\right]\nonumber \\ & \quad -\frac{7}{8}(p_\alpha-p_{\beta})^4(p_{\alpha}+p_{\beta})\nonumber\\ & \quad \times\left[ (p_{\alpha}+p_{\beta})^2+p_{\alpha}p_{\beta}\right]\log\left(\frac{p_{\alpha}+p_\beta}{|p_\alpha-p_\beta|+0^+}\right)^2 \biggr]. \end{align}?></tex-math> <mml:math display="block"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>21</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">[</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>22</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi/> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mfenced close="]" open="["> <mml:mrow> <mml:mn>15</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mfenced close="]" open="["> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> <graphic xlink:href="njpacd8e4eqnD5.gif"/> </disp-formula> Minimizing the free energy with the constraint of constant total density, i.e. <inline-formula> <tex-math><?CDATA $\sum_\sigma n_\sigma = n_\text{tot}$?></tex-math> <mml:math> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mtext>tot</mml:mtext> </mml:msub> </mml:math> <inline-graphic xlink:href="njpacd8e4ieqn171.gif"/> </inline-formula> we obtain the the ground state magnetization. Figure <xref ref-type="fig" rid="njpacd8e4f6">6</xref> shows the magnetization at zero temperature (<italic>T</italic> = 0) obtained using Kanno’s result and the numerical integration of the 2nd order free-energy expression extrapolated to <italic>T</italic> = 0. The agreement between two approaches is excellent.</p> <fig id="njpacd8e4f6" position="float"> <label>Figure 6.</label> <caption id="njpacd8e4fc6"> <p>Magnetization at zero temperature derived from numerical integration of the second order free energy (red dashed curves) and using Kanno’s formula [<xref ref-type="bibr" rid="njpacd8e4bib20">20</xref>] (solid black curves). In both cases, we perform an unconstrained numerical minimization of the total energy. From right to left, the curves correspond to <inline-formula> <tex-math><?CDATA $N = 2, 3, 4, 6$?></tex-math> <mml:math> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:math> <inline-graphic xlink:href="njpacd8e4ieqn170.gif"/> </inline-formula>, respectively for a three-dimensional Fermi gas with SU(<italic>N</italic>) symmetry.</p> </caption> <graphic content-type="print" id="njpacd8e4f6_eps" xlink:href="njpacd8e4f6.eps"/> <graphic content-type="online" id="njpacd8e4f6_lr" xlink:href="njpacd8e4f6_lr.jpg"/> <graphic content-type="high" id="njpacd8e4f6_hr" xlink:href="njpacd8e4f6_hr.jpg"/> </fig> </app>